Функции y k x и ее график. Линейная функция. Задание на дом

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k<0

График функции y = k/x, при k<0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат - асимптоты гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) .

Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью.

b – длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b .

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) .

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) .

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k .

k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0 , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.

В этом видеоуроке вы познакомитесь с функциейy = k/x, k - коэффициент, который может принимать разные значения, кроме 0. Давайте рассмотрим случай, когда k = 1 => y = 1/x. Для построения графика этой функции вспомним материал, который был в предыдущих видео, а именно: подберем для x несколько произвольных значений и подставим их в формулуy = k/x.

Это даст нам возможность вычислить значения зависимой переменной y. Подбор значений и вычислений y построим в два этапа: сначала придадим аргументу положительные значения, а потом - отрицательные.

Пользуясь формулой y = k/x, найдем значение y. Если x = 1 , то y = 1. Подберем несколько аргументов самостоятельно.

В случае, когда x = 3, то y = 1/3; х = 5, то у = 1/5; х = 7, то у = 1/7.

И когда х = 1/3, то у = 3; х = 1/5, то у = 5; х = 1/7, то у = 7.

Составим таблицу:

В случае, когда х =1, то у = -1, х = -3, то у = -1/3; х = -5, то у = -1/5; х = -7, то у = -1/7.

И когда х = -1/3, то у = -3; х = -1/5, то у = 5; х = -1/7, то у = -7.

Составим таблицу:

Построим данные точки на координатной плоскости хОу и соединим их.

Пример с другими координатами и последовательность построения графика вы сможете увидеть в видео.

Также в видеоуроке вы ознакомитесь с основными геометрическими свойствами гиперболы.

Гипербола, как и парабола, обладает симметрией. Если провести прямую через начало координат 0, то она пересечет гиперболу в двух точках, которые лежат на прямой на противоположных сторонах от точки 0 и на равных от неё расстояниях. Тем самым 0 будет являться центром симметрии гиперболы, и она будет симметрична относительно начала координат.
Симметричные, относительно начала координат, части гиперболы называются её ветвями.
Одна ветвь гиперболы расположена вблизи оси абсцисс, другая - вблизи ординат. В таких случаях соответствующие прямые принято называть асимптотами. Это значит, что гипербола имеет две асимптоты - ось х и ось у.
Помимо центра симметрии гипербола имеет оси симметрии.

Графиком функции y = k/x, при k не равно 0 является гипербола, ветви которой находятся в 1 и 3 координатных плоскостях, в случае, когда k > 0, и во 2 и 4 k > 0, и во 2 и 4 координатных плоскостях, когда k < 0. (0,0) - точка центра симметрии гиперболы, а осями координат являются её асимптоты. Функцию y = k/x называют обратно пропорциональной, в силу того, что её величины - x и у, являются обратно пропорциональными, а число k - это коэффициент обратной пропорциональности.