Координаты гаусса. Понятие о картографических проекциях. Классификация проекций. Равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса Поперечно цилиндрическая проекция гаусса

Тема 4. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

4.1. РАВНОУГОЛЬНАЯ ПОПЕРЕЧНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ГАУССА

Для уменьшения неизбежных искажений, возникающих при изображении значительных территорий на плоскости, прибегают к картографированию территорий по частям. При создании топографических карт (кроме карты в масштабе 1: 1 000 000) в Украине и ряде других стран применяется равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.

Карл Фридрих (1777-1855) Гаусс в 1825 г. разработал теорию отображения поверхности эллипсоида вращения на плоскости с сохранением подобия в бесконечно малых частях. В 1912 г. А. Крюгер вывел рабочие формулы этой проекции.

Образуется проекция перенесением поверхности эллипсоида на боковую поверхность эллиптического цилиндра, ось которого перпендикулярна оси вращения Земли.

Рис. 4.1. Проекция Гаусса

Следовательно, проекция Гаусса составляется с учетом сжатия Земли. На один цилиндр переносится узкая полоса земной поверхности, занимающая по долготе 6°
Цилиндр касается глобуса по среднему меридиану зоны. Каждая зона соответствует колонке листов карты масштаба 1: 1 000 000 в международной разграфке, т.е. каждая зона ограничивается меридианами, кратными 6° долготы. Зоны нумеруются от Гринвичского меридиана на восток. Первая зона расположена между меридианами 0 и 6°. Всего зон - 60.
Поверхность глобуса на боковую поверхность цилиндра переносится с сохранением равенства углов на местности и на карте . Следовательно, проекция Гаусса равноугольна . Искажения длин будут возрастать по мере удаления от экватора и меридиана касания.

В каждой зоне осевой меридиан (как меридиан касания) изображается прямой линией в натуральную величину. Остальные меридианы зоны изображаются кривыми линиями, причем кривизна их увеличивается по мере удаления от осевого меридиана.
На глобусе все меридианы имеют одинаковую длину. Следовательно, все меридианы в зоне, кроме среднего, вытянуты по сравнению с соответствующими меридианами на глобусе. Экватор изображается прямой линией, а остальные параллели — кривыми. Все параллели, в том числе и экватор, растянуты пропорционально растяжению меридианов.

Рис. 4.2. Схематическое изображение зоны Гаусса на плоскости.

В проекции Гаусса максимальные искажения длин на экваторе на границе каждой зоны равны 0,137% (137 м на 100 км расстояния).
При решении многих задач геодезии такими искажениями пренебрегают и проекцию считают не только равноугольной , но и равнопромежуточной , и равновеликой , т. е. практически отсутствуют искажения углов, расстояний и площадей . Карты этой проекции принимают за план.
Каждая зона Гаусса по меридианам и параллелям делится на отдельные листы карт. Рамками листов карт являются меридианы и параллели.
В проекции Гаусса составляются топографические карты масштаба 1: 500 000 и крупнее.
На картах масштаба 1: 500 000 нанесена сетка геодезических координат, а на рамках этой карты даны выходы километровой сетки.
На картах масштаба 1: 200 000 и крупнее нанесена километровая сетка системы прямоугольных координат Гаусса.

4.2. СИСТЕМА ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

На топографических картах масштаба 1: 500 000 и крупнее кроме геодезической сетки наносится прямоугольная координатная сетка . Приняв осевой (средний) меридиан в каждой зоне за ось X (абсцисс), а экватор - за ось У (ординат), а их пересечение за начало координат, получим систему плоских прямоугольных координат Гаусса для данной зоны. В топографии и геодезии ориентирование производится по северу со счетом углов по ходу часовой стрелки. Поэтому для сохранения знаков тригонометрических функций положение осей координат в зоне Гаусса повернуто на 90° относительно осей, принятых в декартовой системе прямоугольных координат. За положительное направление осей приняты: для оси X - направление на север, для оси Y - на восток. Положение точки А в координатной зоне определяется ее расстоянием х А и y A от осей координат. На территории Украины все абсциссы (расстояния от экватора) положительны. Что касается ординат, то они в каждой зоне могли бы быть как положительными, так и отрицательными. Для удобства работы с картами условились значение ординаты Y осевого меридиана каждой зоны принимать равным 500 км , т. е. начало координат как бы вынесли к западу за пределы зоны.

Рис. 4.3. Система плоских прямоугольный координат Гаусса.

Поскольку в каждой зоне числовые значения ординат повторяются, то для того, чтобы по координатам точки можно было определить, к какой зоне она относится, к значению ординаты Y слева приписывается номер зоны.
Например, координаты точки х = 6 346 650 м , у = 4 522 800 м означают, что точка расположена к северу от экватора на расстоянии 6 346 650 м и к востоку от осевого меридиана 4-й зоны на расстоянии 22 800 м (522 800 м - 500 000 м = 22 800 м ).
Другой пример. Координаты х = 5 862 300 м , у = 15 323 500 м . Это означает, что точка расположена в 5 862 300 м к северу от экватора и в 176 500 м к западу от осевого меридиана 15-й зоны (500 000 м — 323 500 м = 176 500 м ).
Для того, чтобы значительно упростить определение прямоугольных координат, на плоскости (на карте) параллельно координатным осям (осевому меридиану и экватору) проводят прямые линии через целое число километров, поэтому прямоугольную координатную сетку часто называют километровой , а ее линии — километровыми.
Все линии километровой сетки на картах подписывают цифрами, причем линии, ближайшие к углам рамки листа карты, подписывают полным числом километров, остальные сокращенно - только последними двумя цифрами, подразумевая остальные цифры. Таким образом, подпись 6081 сверху горизонтальной километровой линии означает, что она проходит в 6081 км к северу от экватора, а подпись 4322 возле расположенной справа вертикальной километровой линии означает, что эта линия находится в 4-й зоне и проходит в 178 км западнее осевого меридиана зоны (500 км - 322 км = 178 км ).
С помощью километровой сетки можно быстро находить координаты объектов, наносить точки по координатам, указывать местоположение объектов на карте. Прямоугольные координаты точки, через которую на карте проходят линии километровой сетки получают сразу, прочитав оцифровку координатных линий на рамках карты.

Рис. 4.3. Оцифровка линий прямоугольной координатной сетки.

Координаты точек, лежащих внутри клеток сетки, определяют по координатам ближайших к точке линий сетки и приращению координат точек относительно этих линий. Приращения координат Δх и Δу измеряют с помощью циркуля-измерителя и линейного масштаба карты, суммируют с координатами километровых линий.

х А = 6 136 000 х В = 613328
у А = 7 316 000 у В = 7313450

Рис. 4.5. Положение и оцифровка линий прямоугольной координатной сетки на листе карты масштаба 1: 100 000 и определение прямоугольных координат точек

Приращения координат могут быть измерены с помощью координатомера — небольшого угольника с двумя перпендикулярными сторонами. По внутренним ребрам линеек нанесены шкалы, длины которых равны длине стороны координатных клеток карты данного масштаба. Горизонтальная шкала совмещается с нижней линией квадрата (в котором находится точка), а вертикальная шкала должна проходить через данную точку. По шкалам определяют расстояния от точки до километровых линий (рис. 6.3).

х А = 6135 350 у А = 5577 701

Рис. 4.6. Измерение прямоугольных координат точек с помощью
координатомера

Чтобы нанести на карту точку по заданным прямоугольным координатам , поступают следующим образом: по значению абсциссы x , принимая во внимание только целое число километров, находят горизонтальную координатную линию, к северу от которой будет находиться точка. По значению ординаты y аналогичным образом определяют вертикальную координатную линию, к востоку от которой будет расположена искомая точка, и находят нужный квадрат. Откладывают измерителем по линейному масштабу оставшиеся доли километров (приращения координат): по обеим горизонтальным сторонам квадрата к востоку — приращение ординаты Δу , а по обеим вертикальным линиям к северу — приращение абсциссы Δх . Через полученные точки проводят вертикальную и горизонтальную прямые, в точке пересечения которых находится заданная точка.

Для быстрого указания местоположения объекта на данном листе карты используют сокращенные координаты юго-западного угла соответствующего квадрата километровой сетки. От обозначений обеих километровых линий берут две последние цифры, напечатанные крупным шрифтом, и записывают их так, чтобы две первые цифры относились к южной стороне, а две последние — к западной стороне квадрата . Например, на рисунке 4.3 г. Крута находится в квадрате 8020, а населенный пункт Бандурка — в квадрате 8022.

Дополнительная километровая сетка наносится на границе соседних зон. Так как вертикальные километровые линии сетки параллельны своему осевому меридиану зоны, а осевые меридианы соседних зон между собой не параллельны, то при склейке двух листов карты, находящихся на стыке двух зон, вертикальные километровые линии обеих сеток будут расположены под некоторым углом друг к другу. При определении координат точек, расположенных в двух смежных зонах, необходимо координаты объектов одной зоны перевычислять в другую зону. Это трудоемкая работа, требующая наличия специальных таблиц и вычислительной техники.

Рис. 4.7. Взаимное расположение километровых линий сети смежных зон (а) и дополнительная координатная сетка (б)

Чтобы устранить это неудобство, в каждой зоне на всех листах карт, расположенных в пределах 2° к востоку и к западу от границы зоны, наносят кроме километровой сетки своей зоны также выводы километровой сетки соседней (западной или восточной) зоны в виде черточек за внешней рамкой. Подписи дополнительной сети делаются с наружной стороны внешней рамки.
Наличие дополнительной сетки на карте позволяет графически перевычислять координаты объектов (целей) одной зоны в другую зону. Чтобы построить на карте дополнительную сетку, необходимо соединить прямой линией выходы дополнительной координатной сетки с одинаковыми значениями по восточной и западной рамкам, а также по южной и северной рамкам.

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧЕК,
ЗАДАННЫХ НА КАРТЕ

Каждый лист карт масштаба 1: 1 000 000 и крупнее ограничен меридианами и параллелями. Значения географических координат подписываются у углов рамки листа карты. Кроме того, вдоль сторон рамки показываются (в масштабе карты) изображения дуг меридианов и параллелей, соответствующие определенному числу минут широты и долготы.

Рис. 4.8. Оформление рамки листа топографической карты.

Географические координаты углов внутренней рамки листа (северо-восточного, юго-восточного, юго-западного, северо-западного) подписаны на карте .
Рамка имеет деления на отрезки, соответствующие одной минуте широты (на западной и восточной рамках) и одной минуте долготы (на северной и южной рамках). Минутные отрезки представлены на карте в виде длинных пунктиров.
Для определения по карте географических координат точки проводят ближайшую к ней с юга параллель и ближайший с запада меридиан. Искомая широта будет складываться из широты проведенной параллели и приращения широты точки относительно этой параллели. Аналогично можно получить и долготу точки. Приращения широты и долготы обычно определяют по секундным отметкам, нанесенных рядом с минутными делениями или методом интерполяции.
Чтобы определить приращения координат методом интерполяции необходимо измерить на карте длину одной минуты широты и долготы, а также расстояние от точки до ближайшей с юга параллели и от точки до ближайшего с запада меридиана. По этим данным составляются пропорции и определяются приращения координат.
Например:
На карте масштаба 1: 25 000 длина минутного штриха по долготе равна 42 мм . Расстояние от точки до ближайшего западного меридиана равно 20 мм . Найти приращение долготы в секундах.
Составляем пропорцию:

60 сек соответствует 43 мм
х сек соответствует 20 мм
х = (60×20):43 = 27,9 ≈ 28 сек

При определении географических координат точек по картам масштабов 1: 500 000 и 1: 1 000 000 применяют специальную палетку . Она представляет собой вычерченную на прозрачной бумаге систему прямых линий, расстояния между которыми соответствуют 5" широты и долготы. Такую палетку накладывают на лист карты так, чтобы линии ее, кратные целым градусам широты и долготы, совпали с соответствующими линиями картографической сетки. После этого оценивают положение определяемой точки относительно ближайших западной и южной линий палетки.

Задания и вопросы для самоконтроля

1. Какие проекции применяют для создания топографических карт в Украине?
2. В чем сущность создания проекции Гаусса?
3. Почему проекция Гаусса носит название: «Равноугольная поперечно-цилиндрическая»
4. Как изображаются меридианы и параллели в проекции Гаусса?
5. На каких участках карты проекции Гаусса искажения максимальны?
6. Для каких целей служат рамки листов карт проекции Гаусса?
7. Что принимается за оси координат (абсцисса и ордината) в системе плоских прямоугольных координат Гаусса?
8. Что означает запись значений координат: х = 6 346 650, у = 4 522 800?
9. В каких целях на топографических картах нанесена километровая сетка?
10. Как определить с помощью топографической карты плоские прямоугольные координаты заданной точки?
11. Для каких целей используют сокращенные координаты?
12. В чем состоит решение прямой геодезической задачи?
13. В чем состоит решение обратной геодезической задачи?
14. Какой порядок определения географических координат на топографической карте?

Решение геодезических задач в этой системе выполняется по простым формулам аналитической геометрии, для чего необходимо предварительно элементы поверхности эллипсоида тем или иным способом спроектировать на плоскость. Такое проецирование будет сопровождаться неизбежными искажениями, а их величина и характер зависят от вида выбранной поверхности.

Для крупномасштабного картографирования и инженерной геодезии наиболее удобны проекции, обеспечивающие наилучшее сохранение подобного изображения фигур при переходе от эллипсоида на плоскость. Это станет возможным, если земную поверхность разделить на части (зоны), а затем изобразить всю ее на плоскости. Возникающие при этом искажения будут малы и легко учитываться.

Таким требованиям отвечает принятая в СССР с 1928 года поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. Эту проекцию Гаусс предложил в 1825 – 1830 г.г., в 1912 году Крюгер разработал детали применения и дал рабочие формулы для вычислении в этой проекции.

Сущность проекции Гаусса-Крюгера заключается в следующем.

Поверхность земного эллипсоида разбивают меридианами на сферические двуугольники – зоны через 60 (рис 6).

Мысленно располагают такой эллипсоид в цилиндре так, чтобы осевой меридиан первой зоны касался боковой поверхности цилиндра (рис.7).

Ось цилиндра «y» располагается поперек малой оси эллипсоида (поэтому проекция называется поперечно-цилиндрической), а ось «x», в отличие от математики, в геодезии располагается на север. Из центра эллипсоида все точки(T,E,Z,M,K…) шестиградусной зоны проектируют по отвесным линиям на боковую поверхность цилиндра (t,e,Z,m,k…). Затем вращательно-поступательно перемещают эллипсоид в цилиндре таким образом, чтобы осевой меридиан второй зоны касался боковой поверхности цилиндра и все точки на граничных меридианах этой зоны проектируют аналогично. И так далее проектируют все 60 зон эллипсоида.

Разрезав цилиндр по образующим АА1 и ВВ1 и развернув половину его боковой поверхности, получают изображение земной поверхности на плоскости в виде отдельных зон, соприкасающихся одна с другой лишь в точках по экватору. (Рис. 8).

Ось цилиндра и линия экватора лежат в одной плоскости и после развертки изобразятся прямой линией - ось «y». Ось «x» располагается перпендикулярно оси «y», совпадает с осевым меридианом зоны и малой осью эллипсоида. Таким образом, осевой меридиан и экватор изображаются взаимно-перпендикулярными прямыми линиями. После развертки поверхности эллипсоида, спроектированной на боковую поверхность цилиндра, получаются разрывы земной поверхности, заметные в северном и южном полушариях по широте более 580 (рис.8). Шестиградусные зоны нумеруются арабскими цифрами с запада на восток, начиная от Гринвичского меридиана. Долготу осевого меридиана (0) любой зоны можно определить по формуле:

λ 0 = 6 0 N - 3 0 (4)

где N - номер зоны.

За начало счета координат в каждой зоне принимается пересечение изображений осевого меридиана – оси абсцисс «x» и экватора «y». Показанные на рис. 8 линии, параллельные изображению осевого меридиана (в нужной зоне) и экватора, образуют прямоугольную систему координат. Координаты (x и y) могут иметь знаки «+» и «-». Так как территория России расположена севернее экватора, то все «x» будут положительные; «y» – западнее осевого меридиана будут иметь отрицательные значения. Во избежание путаницы в знаках, то есть, чтобы ординаты были положительными, точкам осевого меридиана условно присваивается значение 500 км или осевой меридиан каждой зоны условно переносится на 500 км на запад (рис. 9).

Тогда ординаты получают условные значения и называются преобразованными у́ А, у́ Д. Впереди измененной ординаты записывается номер зоны, в которой находится данная точка.

§ 9. Зависимость между сферическими прямоугольными координатами эллипсоида и плоскими прямоугольными координатами в проекции Гаусса

Главные радиусы кривизны в данной точке эллипсоида.

Если бы Земля имела форму шара радиуса R, то кривизна ее поверхности во всех точках была бы постоянной и одинаковой, равной, а координаты любой точки на ее поверхности зависели бы от B и L (рис. 5).

В действительности, как было отмечено выше, Земля близка по форме к эллипсоиду вращения с разными размерами полуосей (§6). Таким образом, кривизна земной поверхности меняется от точки к точке, а значит координаты любой точки будут зависеть не только от B и L , но и от кривизны земной поверхности, то есть от главных радиусов кривизны эллипсоида .

Через нормаль к поверхности эллипсоида (рис. 5) можно провести бесчисленное множество плоскостей. Эти плоскости, перпендикулярные к касательной плоскости к поверхности эллипсоида в данной точке, называются нормальными. Кривые, образуемые от пересечения нормальных плоскостей, проведенных в данной точке, с поверхностью эллипсоида, называются нормальными сечениями. В каждой точке эллипсоида существуют два взаимно перпендикулярных нормальных сечения, кривизна которых имеет максимальное и минимальное значение; эти нормальные сечения называются главными нормальными сечениями.

В некоторой точке M (рис 10) поверхности земного эллипсоида главными нормальными сечениями, как известно из дифференциальной геометрии, являются:

Меридианальное сечение, проходящее через данную точку M, и оба полюса эллипсоида P и P1 (на рис. 10 меридианальное сечение в точке M представляются эллипсом PME1P1E);

Сечение первого вертикала, проходящее через точку M и перпендикулярное меридианальному сечению точки M.

Сечение первого вертикала изображено на рис. 9 кривой WME, представляющей собой также эллипс. Обозначим через M и N радиус кривизны меридиана и первого вертикала и запишем соответственно :

(5)

(6)

где a – большая полуось эллипсоида;

e 2 – квадрат первого эксцентриситета меридианального сечения;

B - геодезическая широта точки M.

Зависимость между сфероидическими и плоскими прямоугольными координатами.

Точка A (рис. 11) на земном эллипсоиде имеет сферические координаты ХА, YА и расположена в 6-ти градусной зоне на некотором удалении (YА) от осевого меридиана.

Так как по условию проекции осевой меридиан зоны касается боковой поверхности цилиндра, то после проектирования и развертки боковой поверхности цилиндра абсцисса ХА изобразится на плоскости величиной хА без искажений (рис. 12), то есть

х А =Х А (7)

Ордината YА получает искажение и после проектирования вычисляется по формуле.

Для составления топографических карт на тер­ритории б. СССР с 1928 г. принята поперечная цилиндрическая равноугольная проекция Гаус­са-Крюгёра.

Применяя проекцию Гаусса-Крюгера, всю земную поверх­ность делят меридианами на шести- или трехградусные зоны (рис. 4, а). Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны шириной в 3 или 6° долготы зависит от масштаба составляемой кар­ты. При составлении карты в масштабе 1:10 000 или мель­че применяют шестиградус­ную зону, а при составлении карты в масштабе 1: 5000 или крупнее - трехградусную.

Рисунок 4. Вид зоны в проекции Гаусса-Крюгера на шаре и на плоскости

Шестиградусные зоны нумеруют арабскими цифра­ми, начиная от гринвичского меридиана, с запада на вос­ток. Так как западная грани­ца первой зоны совпадает с гринвичским (начальным) меридианом, то долготы осе­вых меридианов зон будут: 3, 9, 15, 21°,.... Долготу осево­го меридиана можно опреде­лить по формуле:

L 0 = 6°N-3,

где N- номер данной зоны.

Трехградусные зоны располагаются на земной поверхности так, что все осевые и граничные меридианы шестиградусных зон явля­ются осевыми меридианами трехградусных зон.

Системы координат в каждой зоне проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковы: плоские прямоугольные координаты х и у, вычисленные по геодезическим (географическим) координатам В и L в любой координатной зоне, имеют одни и те же значения. В проекции Гаусса-Крюгера осевой меридиан, представляющий ось абсцисс (х), и экватор - ось ординат (у), изображаются взаим­но прямыми перпендикулярными линиями, а остальные меридиа­ны - кривыми, сходящимися в полюсах (рис: б). Все абсцис­сы точек в северных частях зон (к северу от экватора) положительные. Чтобы все ординаты были положительные, ко всем ордина­там (отрицательным и положительным) прибавляют 500 км. Кроме того, для полного определения положения точки на земной поверх­ности впереди измененной ординаты пишут номер зоны. Напри­мер, в зоне 7 точка А имеет действительную ординату:

У А = +14 837,4 м.

Преобразованная ордината будет на 7 500 000 м больше, т. е. У А = 7 514837,4 м. Абсциссы точек на всей территории России положительны, их ос­тавляют без изменения.

Для получения картографической сетки в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера Землю помещают в поперечно расположенный цилиндр. Центр проекции располагают в центре шара и прямыми лучами проектируют поверхность шара на образующую поверхность цилиндра. Проектируют поочередно каждую зону. При этом землю поворачивают внутри цилиндра так, чтобы образующая поверхность цилиндра совпадала (касалась) с осевым меридианом зоны, рис. 5.

В результате проектирования картографическая сетка имела следующий вид, рис. 6.

Проекция Гаусса-Крюгера является равноугольной, так как в ней не искажаются горизонтальные углы геометрических фигур земной поверхности. Поэтому бесконечно малые фигуры в этих проекциях подобны соответствующим фигурам на эллипсоиде.

Рисунок 5. Поперечно-цилиндрическая проекция

В проекции Гаусса-Крюгера, кроме того, не искажаются длины дуг осевых меридианов. Длины других линий и площади фигур в этой проекции получаются искаженными.

Рисунок 6. Вид картографической сетки в проекции Гаусса-Крюгера

Проекция Гаусса-Крюгера

Как следует из предыдущих параграфов, здесь имеется в виду, что проектирование поверхности Земли производится на цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с плоскостью экватора. В проекциях Меркатора и Ламберта ось вспомогательного цилиндра совпадает с осью вращения Земли. Кроме того, как следует из названия параграфа, проекция равноугольная, а это значит, что направления, находящиеся в горизонтальной плоскости, на изображении и на земной поверхности сохраняются, а также сохраняются соответственно и горизонтальные углы между направлениями. Но, как примерно сказал М.В.Ломоносов, если где-то сколько-то прибавится, то где-то столько же и убавится. В этой проекции сохраняются углы, но искажается всё остальное: масштабы длин и площадей, формы объектов. Единственным неискаженным изображением поверхности Земли может быть только глобус, т.е. объемное изображение. Но представьте себе, чтобы получить изображение Земли в масштабе хотя бы 1:1000000, надо будет изготовить глобус диаметром более 12,5 метров. В аудиторию не занесешь. Зато, правда, и не вынесешь. А если масштаб крупнее? Вот и приходится идти на уступки: одно изображать без искажений, а на другое при этом не обращать пристального внимания.

Поперечно-цилиндрическая проекция для изображения поверхности земного эллипсоида на плоскости была разработана немецким геодезистом Зольднером и французским геодезистом Кассини . Впоследствии К.Гаусс применил к этой проекции принцип равноугольности, причём масштабы изображения в новой проекции в каждой её точке в любом направлении были одинаковыми. Информация о новой проекции была опубликована К.Гауссом в 1825 году, а спустя почти 90 лет, в 1912 году, ученый Л.И.Крюгер (1857 – 1923) опубликовал рабочие формулы этой проекции. Сейчас указанная проекция названа именами Гаусса и Крюгера.

Предположим, что фигурой Земли является шар радиусом R. Построим вокруг Земли цилиндрическую поверхность, касающуюся поверхности шара по меридиану (рис. 2.14). Ось цилиндрической поверхности в этом случае должна совпасть с плоскостью экватора. В проекции Гаусса на цилиндр проектируется только часть поверхности шара (или эллипсоида), ограниченная по долготе меридианами по 3 о в стороны от меридиана, касательного к цилиндру, так называемая 6 о (шестиградусная) зона . Всего таких зон для всей Земли получается 60.

Рис.2.14. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.

Меридиан зоны, касательный к цилиндрической поверхности, называют центральным или осевым меридианом зоны . Счёт зон ведут на восток от Гринвичского меридиана и обозначают их арабскими цифрами (1, 2, ..., 60). Осевой меридиан 1-й зоны имеет восточную долготу 3 о. Долготу осевого меридиана любой зоны с номером n в восточном полушарии можно определить по формуле

, (2.7)

а в западном полушарии, для зон, номера которых больше 30, – по формуле

Но не во всех случаях может применяться 6 о -ная проекция зоны. Очевидно, что линией нулевых искажений в этой проекции является в каждой зоне её осевой меридиан. Для всех остальных точек земной поверхности (имеется в виду её геометрической шаровидной формы) существует «зазор» с вспомогательной цилиндрической поверхностью. А это значит, что искажения постепенно увеличиваются при перемещении от осевого меридиана на запад или восток и достигают максимального своего значения на краях зон. Как видно на рис. 2.14, точка А , находящаяся на крайнем (восточном) меридиане 1-й зоны на плоскости (на изображении) удалится от самой себя в другое место и окажется на крайнем (западном) меридиане 2-й зоны.

В маркшейдерии такие искажения 6 о -ных зон являются слишком большими, поэтому маркшейдеры используют для составления картографических материалов тоже проекцию Гаусса-Крюгера, но с применением 3 о -ных (трехградусних) зон. Искажения на изображениях, построенных в 3 о -ных зонах, в четыре раза меньше, чем искажения, получающиеся в 6 о -ных зонах. Осевой меридиан 1-ой 3 о -ной зоны совпадает с осевым меридианом 1-ой 6 о -ной зоны. Осевой меридиан 2-й 3 о -ной зоны совпадает с крайними меридианами 1-й и 2-й 6 о -ных зон и т.д. Всего получается 120 3 о -ных зон.

Основные свойства проекции Гаусса-Крюгера следующие:

Осевой меридиан зоны изображается без искажений и представляет собой на плоскости прямую линию. Все другие меридианы этой зоны изображаются сложными кривыми;

Экватор в проекции представляет собой прямую линию, перпендикулярную проекции осевого меридиана. Все другие параллели данной зоны являются сложными кривыми;

Направления на местности в проекции передаются практически без искажений;

Сохраняется масштаб изображения (частный масштаб) малых участков поверхности Земли.

Обратите внимание на следующее. Выше мы говорили о том, что на цилиндрическую поверхность выполняют проектирование с поверхности шара. Но это не совсем так. Вернее, совсем даже не так. Геометрическая вспомогательная поверхность Земли, поверхность относимости, представляет, как Вы уже знаете, не поверхность шара, а поверхность референц-эллипсоида. Поэтому и вспомогательная цилиндрическая поверхность, на которую производится проектирование земной поверхности, должна соответствовать этому, т.е. сопрягаться с меридианом, представляющим собой не окружность, а эллипс. Таким образом, для проектирования обязательно должен использоваться эллиптический цилиндр.

§ 11. Разграфка и номенклатура топографических карт и планов

Понятие номенклатуры в картогафии абсолютно отличается от её других значений в нашей повседневной негеодезической жизни (лат. – nomenklatura ). Это и совокупность или перечень названий, терминов, употребляющихся в какой-либо отрасли науки, техники, искусства и т.п., это и круг должностных лиц, назначенных вышестоящей инстанцией. Смысловое понятие номенклатуры в геодезии исходит из того, что принимаемые положения должны обеспечивать однозначное обозначение листов топографических либо каких других карт различных масштабов. Нельзя сказать, что принятая картографами в работе номенклатура является удобной. Не будет удобной и другая какая-нибудь система обозначений, поскольку так много последовательных делений от первичного листа карты, что остается только надеяться на свою память либо пользоваться справочником, что во многом в этих случаях надежнее.

Рис. 2.15. Разграфка и номенклатура топографических карт масштаба 1:1000000.

Номенклатура – это система обозначения листов карт разных масштабов.

Система деления карт на отдельные листы с помощью линий картографической сетки (линий меридианов и параллелей) или прямоугольной координатной сетки (координатных линий) называется разграфкой .

В основу деления карт на листы в нашей стране принята международная разграфка карт масштаба 1:1000000 (рис. 2.15). Разбивка на ряды параллелями производится от экватора через каждые 4 о широты. Ряды обозначают буквами латинского алфавита: A, В, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, V, W. Колонны в своих границах совпадают с 6 о зонами проекции Гаусса-Крюгера, но нумерация их ведется от меридиана ±180 о на восток. Таким образом, номер колонны отличается от номера зоны на 30 единиц в ту или другую стороны. Колонны обозначаются (по номерам) арабскими цифрами.

Предположим, что номер колонны 47. Тогда номер соответствующей зоны будет 47 – 30 = 17. Если номер колонны меньше 30, то для определения номера зоны следует к номеру колонны прибавить 30.

Номенклатура первого листа топографической карты масштаба 1: 1000000 составляется из буквы ряда и номера колонны. Например, Н – 47.

Других листов карты масштаба 1:1000000 с таким обозначением нет. Но Вы можете задать вполне разумный вопрос: «Для обозначения рядов картографы использовали все буквы латинского алфавита для северного полушария. А как же быть тогда с листами карт на южное полушарие? Придется повториться?» Зачем повторяться. Номенклатура – это система обозначений. Так и давайте чуть-чуть изменим эту систему для южного полушария. Например, в южном полушарии подобный лист обозначить как 47 – Н. И никаких проблем и вопросов. А можно придумать и другое, например, брать в скобки (Н) для южного полушария. И снова – никаких проблем. И снова с Вашей стороны разумный вопрос: «Ну а как же на самом деле обозначают?» Проще, чем мы с Вами подумали: после номенклатуры в скобках указывают (Ю.П.). Наши с Вами способы все-таки поинтереснее.

Разграфку более крупных масштабов из листа 1:1000000 можно проследить по приведённой ниже схеме, табл. 2.2 и рисункам 2.16 – 2.21, относящимся к приведённому ниже примеру.

Известна также как Поперечная проекция Меркатора, эта проекция подобна проекции Меркатора, но в данном случае цилиндр разворачивается не вокруг экватора, а вокруг одного из меридианов. Результатом является равноугольная проекция, которая не сохраняет правильные направления. Центральный меридиан находится в регионе, который может быть выбран. По центральному меридиану искажения всех свойств объектов региона – минимальные. Эта проекция наиболее подходит для картографирования территорий, протяженных с севера на юг. Система координат Гаусса-Крюгера основывается на проекции Гаусса-Крюгера.

Метод проецирования

Поперечная цилиндрическая проекция с центральным меридианом, расположенным в конкретном регионе. В системе координат Гаусса-Крюгера поверхность Земли разделена на 60 зон шириной шесть градусов, и центральный меридиан первой зоны – 177° ЗД. Проецирование осуществляется в каждой зоне отдельно на цилиндр, ось которого поворачивается в плоскости экватора на 6 градусов от зоны к зоне. Коэффициент масштаба равен 1,000, а не 0,9996, в отличие от UTM. В некоторых странах к 500 000-метровому сдвигу по Y прибавляется число, которое равно номеру зоны. Зона 5 системы координат Гаусса-Крюгера может иметь значения сдвига по оси X – 500 000 метров или 5 500 000 метров.

Линии контакта

Любой меридиан для касательной проекции. (Гаусса-Крюгера). Две линии на одинаковом расстоянии от центрального меридиана для секущей проекции (Поперечной проекции Меркатора).

Линейные элементы картографической сетки

Экватор и центральный меридиан зоны.

Свойства

Shape

Равноугольная. Сохраняются малые формы. Искажение формы больших территорий увеличивается при удалении от центрального меридиана.

Область

Искажение возрастает по мере удаления от центрального меридиана.

Направление

Локальные углы точны везде.

Расстояние (Distance)

Точный масштаб вдоль центрального меридиана, если масштабный коэффициент равен 1,0. Если он меньше 1,0, то точный масштаб сохраняется на прямых линиях, расположенных на равных расстояниях по обе стороны от центрального меридиана.

Ограничения

Объекты сфероида или эллипсоида не могут быть спроецированы за пределы 90° от центрального меридиана. Фактически протяженность сфероида или эллипсоида должна быть в пределах 10-12 градусов по обе стороны от центрального меридиана. За пределами этого диапазона, спроецированные данные могут не проецироваться в ту же самую позицию при обратной операции. Для данных на сфере этих ограничений не существует.

Новое проекция, называемая Поперечная Меркатора комплексная (Transverse_Mercator_complex), добавлена в механизм проецирования в ArcGIS. Это обеспечивает точное прямое и обратное преобразование UTM до 80 градусов от центрального меридиана. Привлечение комплексного математического метода делает это преобразование предпочтительным.

Области использования

Система координат Гаусса-Крюгера. Топографическое картографирование в СССР и России в масштабах от 1:10 000 до 1:500 000 всей поверхности Земли. В этой системе Земной шар делится на зоны шириной по шесть градусов. Коэффициент масштаба равен 1, сдвиг по оси X равен 500 000 метров и южное полушарие также имеет сдвиг по оси Y – 10000000 метров. Центральный меридиан зоны 1 – 177° ЗД. В некоторых странах добавляют номер зоны в величину сдвига на восток 500 000 метров. В пятой зоне в ГК сдвиг по оси Х равен 500000 или 5500000 метров. Также существуют 3-х градусные зоны Гаусса-Крюгера, используемые для съемок в масштабе 1:5 000 и крупнее.

Система UTM подобна системе Гаусса-Крюгера. Коэффициент масштаба равен 0,9996 и центральный меридиан первой UTM-зоны – 177 градусов ЗД. Сдвиг по оси X равен 500 000 метров и южное полушарие также имеет сдвиг по оси Y – 10000000 метров.